جبر مجرد

بسیاری از اشیاء ریاضیاتی، مثل مجموعه اعداد و توابع، ساختار داخلی از خود بروز می دهند که می تواند پیامد عملیات یا روابطی باشند که بر روی یک مجموعه اعمال می شود. سپس ریاضیات به مطالعه خواص آن مجموعه هایی می پردازد که می توان آن ها را بر اساس آن ساختار مورد نظر بیان کرد؛ به عنوان مثال نظریه اعداد به مطالعه خواص مجموعه اعداد صحیح می پردازد که می توان آن ها را با عملیات حساب به دست آورد. به علاوه، معمولا اتفاقی که می افتد این است که چنین مجموعه های ساخت یافته (ساختارها) خواص مشابهی از خود بروز می دهند که امکان انجام یک مرحله تجرید دیگر بر روی آن ها را داده و لذا در چنین شرایطی می توان اصول موضعه هایی برای آن دسته خاص از مجموعه ها ارائه داد، و سپس به مطالعه همه آن ها به صورت یکجا پرداخت (همه آن مجموعه هایی که در آن اصول موضوعه صدق می کنند). ازین رو، می توان گروه ها، حلقه ها، میدان ها و دیگر نظام های مجرد را مطالعه کرد؛ چنین مطالعاتی (برای ساختارهای تعریف شده با عملیات جبری) تشکیل یک قلمرو از ریاضیات به نام جبر مجرد را می دهند.

جبر مجرد را می توان در حالت کلی آن به مسائل به ظاهر غیر مرتبط اعمال کرد؛ به عنوان مثال، تعدادی از مسائل مربوط به ساخت به کمک خط کش و پرگار در نهایت با کمک نظریه گالوا حل شدند، که در آن از نظریه میدان و گروه ها استفاده شد. یکی دیگر از مثال های مرتبط با نظریه جبری، جبر خطیست، که عناصر آن بردارها می باشند. بردارها هم اندازه دارند و هم جهت و می توان از آن ها برای مدل سازی روابط بین نقاط درون فضا استفاده کرد. این مثالی از پدیده ای است که پیشتر اشاره شد، یعنی ارتباط قلمروهای به ظاهر غیر مرتبط مثل هندسه و جبر، به گونه ای که مشخص می شود این قلمروهای به ظاهر غیر مرتبط ارتباطاتی بس عمیق تر با یک دیگر در ریاضیات مدرن دارند. ترکیبیات به مطالعه راه های شمارش تعدادی اشیاء می پردازد که آن اشیاء در ساختار داده شده ای صدق می کنند.